تمرين 1 tp

(I) لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-2x²+8x.
1) بين أن لكل x∈IR لدينا f(x)=-2(x-2)²+8.
2) بين أن f(2) قيمة قصوى للدالة f.
3) ادرس تغيرات الدالة f على ]-∞;2]
ثم على [2;+∞[.
4) انشئ جدول تغيرات الدالة f.

(II) يزرع مزارع x هكتار من أرضه في منتج زراعي ، ويتم تحديد الدخل كل عام بآلاف الدولارات من خلال الدالة g المعرفة ب g(x)=4f(x).
كم هكتار يحتاج للزراعة للحصول على أقصى ربح يمكنك تحقيقه سنويا؟

تصحيح

(I) 1) D=IR=]-∞;+∞[. ليكن x∈IR
f(x)=-2(x²-4x)
=-2(x²-2.2x+2²-2²)
=-2((x-2)²-4)
اذن f(x)=-2(x-2)²+8.
2) f(2)=8 ليكن x∈IR
f(x)-f(2)=-2(x-2)²≤0
وهذا يعني f(2)=8 قيمة قصوى للدالة f.

3) تغيرات الدالة f.
ليكن x و y من IR بحيث x<y.
ندرس اشارة f(x)-f(y).
f(x)-f(y)=-2(x-2)²+8-(-2(y-2)²+8)
=-2(x-2)²+2(y-2)²
=2((y-2)²-(x-2)²)
=2(y-2-x+2)(y-2+x-2)
اذن f(x)-f(y)=2(y-x)(x+y-4).

اذا كان x و y من [2;+∞[ فان x≥2 و y≥2
اذن x+y>4 أي x+y-4>0 (العلاقة 1).
بما أن x<y فان y-x>0 (العلاقة 2).
حسب (1) و (2) نحصل على f(x)-f(y)>0
اذن f تزايدية قطعا على [2;+∞[.
اذا كان x و y من ]-∞;2] فان x≤2 و y≤2
اذن x+y<4 أي x+y-4<0 (العلاقة 3) (المتفاوتة قطعا لأن x≠y).

بما أن x<y فان y-x>0 (العلاقة 4)
حسب (3) و (4) نحصل على f(x)-f(y)<0
اذن f تناقصية قطعا على ]-∞;2].
4) جدول تغيرات f

(II) ليكن x عدد الهكتارات التي يمكن استغلالها خلالة عام.
بما أن الدخل يحدد بواسطة الدالة g فانه يصل إلى الحد الأقصى عند القيمة القصوى للدالة g.
لكل x∈IR لدينا f(x)≤8
اذن 4f(x)≤32 ومنه فان g(2)=32
لذلك ينبغي زراعة 2 هكتار للحصول على أقصى ربح قدره 32000 دولار سنويا.