Exercice 1 tp

(I) Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=-2x²+8x.
1) Montrer que pour tout x∈IR
on a f(x)=-2(x-2)²+8.
2) Montrer que f(2) est une valeur maximale de f.
3) Etudier les variations de f sur ]-∞;2]
puis sur [2;+∞[.
4) Tracer le tableau de variations de f.

(II) 2) Un agriculteur exploite x hectares de sa terre dans un produit agricole et le revenu est déterminé chaque année en milliers de dollars par la fonction numérique g définie par g(x)=4f(x).
Combien d'hectares faut-il exploiter pour obtenir le maximum de profit possibe annuellement ?

Correction

(I) 1) D=IR=]-∞;+∞[. Soit x∈IR
f(x)=-2(x²-4x)
=-2(x²-2.2x+2²-2²)
=-2((x-2)²-4)
ainsi f(x)=-2(x-2)²+8.
2) f(2)=8 soit x∈IR
f(x)-f(2)=-2(x-2)²≤0
et cela signifie que f(2)=8 est une valeur maximale de f.

3) Variations de f.
Soient x et y∈IR tel que x<y.
On étudie le signe de f(x)-f(y).
f(x)-f(y)=-2(x-2)²+8-(-2(y-2)²+8)
=-2(x-2)²+2(y-2)²
=2((y-2)²-(x-2)²)
=2(y-2-x+2)(y-2+x-2)
donc f(x)-f(y)=2(y-x)(x+y-4).

Si x et y∈[2;+∞[ alors x≥2 et y≥2
ainsi x+y>4 ou encore x+y-4>0 (relation 1).
Puisque x<y alors y-x>0 (relation 2).
D'après (1) et (2) on obtient f(x)-f(y)>0
alors f est strictement croissante sur [2;+∞[.
Si x et y∈]-∞;2] alors x≤2 et y≤2
ainsi x+y<4 ou encore x+y-4<0 (1) (l'inégaité est stricte car x≠y).

Puisque x<y alors y-x>0 (relation 2)
d'après (1) et (2) on obtient f(x)-f(y)<0
alors f est strictement décroissante sur ]-∞;2].
4) Tableau de variations de f

(II) Soit x le nombre d'hectares exploité par an.
Puisque le revenu est déterminé par la fonction g alors il atteint son maximum au maximum de g.
Pour tout x∈IR on a f(x)≤8
donc 4f(x)≤32 ainsi g(2)=32
alors il faut exploiter 2 hectares pour obtenir le profit maximun de 32000 $ annuellement.