عموميات حول الدوال (4)
تمرين 1 tp
لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
f(x)=√(x²) و g(x)=x
1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g.
2) قارن بين f و g.
تصحيح
1) الجذر المربع معرف بالنسبة للأعداد الموجبة
ولكل x من IR لدينا x²≥0 اذن Df=IR.
ولدينا g حدودية اذن Dg=IR.
2) نقارن بين f و g.
الشرط الأول محقق لان Df=Dg
بالنسبة للشرط الثاني هل f(x)=g(x) لكل x∈IR ?
نعلم ان √(x²)=|x|
اذن f(x)≠g(x)
نأخذ مثال مضاد x=-1
لدينا f(-1)=|-1|=1 و g(-1)=-1
وهذا يعني ان f(-1)≠g(-1)
اذن الشرط الثاني غير محقق وبالتالي f≠g.
تمرين 2 tp
لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
| f(x) = | x+1 | و g(x) = | 1 |
| x²-1 | x-1 |
1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g.
2) قارن بين f و g.
تصحيح
1) (q1) f معرفة يعني x²-1≠0.
x²-1=0 يعني x²=1 يعني (x=1 او x=-1)
ومنه فان Df=IR\{-1;1}.
(q2) f معرفة يعني x-1≠0
x-1=0 يعني x=1
ومنه فان Dg=IR\{1}.
2) بما ان Df≠Dg فان الشرط الأول غير محقق وبالتالي
f≠g.
ملاحظة
| f(x) = | x+1 | = | x+1 |
| x²-1 | (x-1)(x+1) |
بما أن x≠-1 يمكن الاختزال ب x+1
| f(x) = | 1 | = g(x) |
| x-1 |
اذن اذا كان x≠-1 فان f(x)=g(x).
تمرين 3 tp
لتكن f و g دالتين عدديتين معرفتين كما يلي
| f(x) = | 2x+1 | g(x) = | 1 | + | 1 |
| x²+x-2 | x-1 | x+2 |
1) حدد مجموعة تعريف كل من f و g.
2) قارن بين f و g.
تصحيح
1) (q1) f معرفة يعني x²+x+2≠0.
نحل المعادلة x²+x-2= 0.
Δ=b²-4ac=1²-4.1.(-2)=9>0
| x1 = | -b-√(Δ) | = | -1-√(9) | = | -4 |
| 2a | 2.1 | 2 | |||
| x2 = | -b+√(Δ) | = | -1+√(9) | = | 2 |
| 2a | 2.1 | 2 |
يعني (x=-2 او x=1).
اذن Df=IR\{-2;1}.
(q2) g معرفة يعني
(x-1≠0 و x+2≠0)
نحل المعادلة الاولى x-1=0 يعني x=1
نحل المعادلة الثانية x+2=0 يعني x=-2
ومنه فان Dg=IR\{-2;1}.
2) نقرن بين f و g.
الشرط الأول محقق لان Df=Dg.
نتحقق من الشرط الثاني
ليكن x∈IR\{-2;1} نوحد مقام الدالة g
| g(x) = | 1 | + | 1 |
| x-1 | x+2 | ||
| = | x+2 + x-1 | = | 2x+1 |
| (x-1)(x+2) | x²+x-2 |
اذن f(x)=g(x) حيث x∈IR\{-2;1}.
وبالتالي f=g.