Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions numérique définies par
f(x)= √(x²) et g(x)=x.
1) Déterminer D_f et D_g.
2) Comparer f et g.

Correction

1) La racine carrée est définie pour des nombres positifs.
Pour tout x∈IR on a x²≥0 donc D_f=IR.
g est une fonction polynoôme donc D_g=IR.

2) On compare f et g.
D_f=D_g donc la première condtion est vérifiée.
Pour la deuxième condition f(x)=g(x) est elle vraie pour tout x∈IR ?
on sait que √(x²)=|x| donc f(x)≠g(x)
voilà un contre exemple si x=-1 on a f(-1)=|-1|=1 et g(-1)=-1 et cela signifie que f(-1)≠g(-1) donc la deuxième condition n'est pas vérifiée alors f≠g.

Exercice 2 tp

Soient f et g deux fonctions numérique définies par

f(x) =	x+1	g(x) =	1
	x²-1		x-1

1) Déterminer D_f et D_g.
2) Comparer f et g.

Correction

1) (q1) f est définie signifie x²-1≠0.
x²-1= 0 signifie que x²=1 signifie (x=1 ou x=-1)
donc D_f=IR\{-1;1}.
(q2) g est définie signifie x-1≠0.
x-1=0 signifie x=1
donc D_g=IR\{1}.
2) Puisque D_f≠D_g alors la première condition n'est pas remplie et donc f≠g.

Notons que si x≠-1 alors f(x)=g(x).
En effet

f(x) =	x+1	=	x+1
	x²-1		(x-1)(x+1)

x≠-1 donc on peut simplifier par x+1.

f(x) =	1	= g(x)
	x-1

Exercice 3 tp

Soient f et g deux fonctions définies par

f(x) =	2x+1		g(x) =	1	+	1
	x²+x-2			x-1		x+2

1) Déterminer D_f et D_g.
2) Comparer f et g.

Correction

1) (q1) f est défine signifie x²+x+2≠0.
On résout l'équation x²+x-2=0.
Δ=b²-4ac=1²-4.1.(-2)=9>0.

x1=	-b-√(Δ)	=	-1-√(9)	=	-4
	2a		2.1		2
x2=	-b+√(Δ)	=	-1+√(9)	=	2
	2a		2.1		2

signifie (x=-2 ou x=1)
donc D_f=IR\{-2;1}
(q2) g est définie signifie x-1≠0 et x+2≠0.
x-1=0 signifie que x=1
et x+2=0 signifie que x=-2
ainsi D_g=IR\{-2;1}.

2) On compare f et g.
Premièrement on a D_f=D_g.
Deuxièment on compare f(x) et g(x).
Soit x∈IR\{-2;1}.

g(x) =	1	+	1
	x-1		x+2
=	x+2 + x-1	=	2x+1
	(x-1)(x+2)		x²+x-2

donc f(x)=g(x) pour tout x∈IR\{-2;1}.
ainsi f=g.