Généralités sur les fonctions (5)
Exercice 1 tp
Soient f et g deux fonctions numérique définies par
| f(x) = 2 + | 3 | et g(x)= | 2x+1 |
| x-1 | x-1 |
Comparer f et g.
Correction
1) (a) f est définie signifie x-1≠0.
x-1=0 signifie que x=1
donc Df=IR\{1}.
(b) g est définie signifie x-1≠0.
x-1=0 signifie que x=1
donc Dg=IR\{1}.
2) On compare f et g.
On a Df=Dg
on compare donc f(x) et g(x). Soit x∈D.
Il y'a deux possibilités ou par f(x) ou par g(x) (le résultat est le même).
| f(x) = 2 + | 3 | = | 2(x-1) -3 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2(x-1) + 3 | = | 2x+1 |
| x-1 | x-1 |
Donc f(x)=g(x) alors f=g.
La deuxième méthode
on commence par g(x)
| g(x) = | 2x+1 | = | 2x-2 +2+1 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2(x+1) | + | 3 |
| x-1 | x-1 | ||
| = | 2 | + | 3 |
| x-1 |
on a bien f(x)=g(x) et donc f=g.
Exercice 2 tp
Soient f et g deux fonctions numérique définies par
| f(x) = a + | b | et g(x) = | x-2 |
| x+2 | x+2 |
1) Déterminer le domaine de définition de chacune de f et g.
2) Déterminer a et b
tel que pour tout x∈D on a f(x)=g(x).
Correction
1) (a) f est définie signifie x+2≠0.
x+2=0 signife que x=-2
donc Df=IR\{-2}.
(b) g est définie signifie x+2≠0.
x+2=0 signife que x=-2
donc Dg=IR\{-2}.
2) On détermine a et b tel que f(x)=g(x).
| f(x)=g(x) signifie | a + | b | = | x-2 |
| x+2 | x+2 |
signifie
| a + | b | = | x+2 - 2 - 2 | |||
| x+2 | x+2 | |||||
| a + | b | = | x+2 | + | -4 | |
| x+2 | x+2 | x+2 | ||||
| a + | b | = 1 | + | -4 | ||
| x+2 | x+2 |
alors a=1 et b=-4.
Exercice 3 tp
Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x)=1+cos²(x)
et g(x)=2cos²(x)+sin²(x.
1) Déterminer le domaine de définition de chacune de f et g.
2) Comparer f et g.
Correction
1) Les deux fonctions cos et sin sont définies dans IR
car pour tout x∈IR
on a cos(x)∈IR et sin(x)∈IR
et donc Df=IR et Dg=IR.
2) Pour tout x∈IR.
on a cos²(x)+sin²(x)=1
donc f(x)=cos²(x)+sin²(x)+cos²(x)
=2cos²(x)+sin(x)=g(x)
ainsi f=g.