تمرين 1 tp

أدرس زوجية كل من الدوال التالية f و g و h و t

f(x) =	3x²+2x		g(x) =	|x-2|+|x+2|
h(x) =	2x²+1		t(x) = -x²+	1
	x			x²

تمرين 2 tp

لتكن f دلة عددية معرفة كما يلي

f(x) =	2x
	x²-2

بين أن f دالة فردية.

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=2x².
1) تحقق أن f دالة زوجية.
2) بين أن f تزايدية قطعا على [0;+∞[
واستنتج رتابتها على ]-∞;0].
3) أنشئ جدول تغيرات f.

تمرين 4 tp

1) اتمم جدول تغيرات f علما أنها زوجية.

x	-3		-1		0		1		3
f				↘	3		5	↘	-4

2) نفترض أن f فردية انشئ جدول تغيراتها.

تمرين 5 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x) = -2+	1
	x²+1

1) أدرس زوجية f.
2) ادرس رتابة f وانشئ جدول تغيراتها.
3) بين أن f(x)≥-1 لكل x∈IR استنتج مطرافا ل f.

تصحيح

1) لكل x∈IR لدينا x²+1≠0
اذن D=IR ومنه فان لكل x∈IR لدينا -x∈IR.

f(-x) = -2+	1	= -2+	1
	(-x)²+1		x²+1

لكل x∈IR لدينا f(-x)=f(x) اذن f دالة زوجية.
2) f دالة زوجية اذن يكفي دراسة رتابة f على IR⁺.
لتكن x و y عنصرين مختلفين من IR⁺ بحيث x<y.
ندرس اشارة f(x)-f(y) لمقارنة الصورتين

f(x)-f(y) = -2+	1	- (-2+	1	)
	x²+1		y²+1

=	1	-	1
	x²+1		y²+1
=	y²+1-(x²+1)	=	(y-x)(y+x)
	x²+1		y²+1

بما أن x<y فان y-x>0.
لتكن x و y من IR⁺ اذن y+x>0
(المتفاوتة قطعا لأن x≠y لا يأخذان نفس القيمة في نفس الوقت)
يعني f(x)-f(y)>0 يعني f(x)>f(y) اذن f تناقصية قطعا على IR⁺.

f دالة زوجية اذن تزايدية قطعا على IR^-.
جدول تغيرات f

x		-∞		0		+∞
f			↗	-1	↘

3) نبين أن f(x)≥-1 لكل x∈IR.
اشارة f(x)-(-1)=f(x)+1.

f(x)+1 = -2+1+	1
	x²+1

=	-1 +	1
		x²+1
=	-x²-1+1	=	-x²
	x²+1		x²+1

لدينا x²+1>0 و -x²≤0
اذن لكل x∈IR لدينا f(x)≥-1.
بما أن لكل x∈IR لدينا f(x)≥-1
و f(0)=-1 فان لكل x∈IR لدينا f(x)≥f(0)
وهذا يعني أن f(0)=-1 قيمة دنيا للدالة f على IR ومنه فان -1 مطراف للدالة f عند 0.