Exercice 1 tp

Etudier la parité des fonctions f ; g ; h et t

f(x) =	3x²+2x		g(x) =	|x-2|+|x+2|
h(x) =	2x²+1		t(x) = -x²+	1
	x			x²

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	2x
	x²-2

Montrer que f est impaire.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=2x².
1) Vérifier que f est paire.
2) Montrer que f est strictement croissante sur [0;+∞[
et déduire sa monotonie sur ]-∞;0].
3) Tracer le tableau de variations de f.

Exercice 4 tp

1) Completer le tableau de variations de f sachant que f est paire.

x	-3		-1		0		1		3
f				↘	3		5	↘	-4

2) On suppose que f est impaire tracer le tableau de variations de f.

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = -2+	1
	x²+1

1) Etudier la parité de f.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
3) Montrer que f(x)≥-1 pour tout x∈IR et déduire un extremum de f.

Correction

1) Pour tout x∈IR on a x²+1≠0
donc D=IR ainsi pour tout x∈IR on a -x∈IR.

f(-x) = -2+	1	= -2+	1
	(-x)²+1		x²+1

pour tout x∈IR on a f(-x)=f(x) donc f est paire.
2) Puisque f est paire il suffit donc d'étudier la monotonie de f sur IR⁺.
Soient x et y deux éléments distincts de IR⁺ tel que x<y.
On étudie le signe de f(x)-f(y) pour comparer les deux images

f(x)-f(y) = -2+	1	- (-2+	1	)
	x²+1		y²+1

=	1	-	1
	x²+1		y²+1
=	y²+1-(x²+1)	=	(y-x)(y+x)
	x²+1		y²+1

puisque x<y alors y-x>0.
Soient x et y∈IR⁺ donc y+x>0
(l'inégalité est stricte car x≠y ne peuvent pas prendre la même valeur en même temps)
ainsi f(x)-f(y)>0 ou encore f(x)>f(y) donc f est strictement décroissante sur IR⁺.

f est une fonction paire alors elle est strictement croissante sur IR^-.
Tableau de variation de f

x		-∞		0		+∞
f			↗	-1	↘

3) On montre que f(x)≥-1 pour tout x∈IR.
Signe de f(x)-(-1)=f(x)+1.

f(x)+1 = -2+1+	1
	x²+1

=	-1+	1
		x²+1
=	-x²-1+1	=	-x²
	x²+1		x²+1

on a x²+1>0 et -x²≤0
donc pour tout x∈IR on a f(x)≥-1.
Puisque pour tout x∈IR on a f(x)≥-1
et f(0)=-1 alors pour tout x∈IR on a f(x)≥f(0)
et cela signifie que f(0)=-1 est une valeur minimale de f sur IR et donc -1 est un extremum de f en 0.