Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par:
f(x)= 2x²-4x+7.
1) Déterminer les deux nombres réels a et b sachant que pour tout x∈IR
on a f(x)=2(x-a)²+b.
2) Déduire que b est le minimum de f en a.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+2x+3.
1) Montrer que pour tout x∈IR on a f(x)≥2.
2) Déduire un extremum de f sur IR.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+4x.
1) Etudier les variations de f sur ]-∞;-2] puis sur [-2;+∞[.
2) Tracer le tableau de variation f.

Correction

Soient x; y∈IR tel que x≠y.
f(x)-f(y)=x²+4x-(y²+4y)
=(x²-y²)+4(x-y)
=(x-y)(x+y)+4(x-y) =(x-y)(x+y+4).

T(x;y)=x+y+4 est le taux d'accroissement de f.
Signe de T(x;y)=x+y+4.
1) (i1) Soient x et y∈]-∞;-2]
ou encore x≤-2 et y≤-2
et puisque (x≠y) alors x+y<-4
ou encore x+y+4<0 donc T(x;y)<0
ainsi f est strictement décroissante
sur ]-∞;-2].

(i2) Soient x et y∈[-2;+∞[
ou encore x≥-2 et y≥-2.
Puisque (x≠y) alors x+y>-4
ou encore x+y+4>0
donc T(x;y)>0.

Ainsi f est strictement croissante
sur [-2;+∞[.
2) Tableau de variations de f.

x		-∞		-2		+∞
f			↗	-4	↘

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 3 -	1
	x

1) Déterminer D_f.
2) Montrer que pour tout x∈IR^+* on a f(x)<3.
3) Est ce que 3 est un extremum de f ?

Exercice 5 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=2x²+4x+5.
Montrer que 3 est un extremum de f sur IR.

Correction

Soit x∈IR.
f(x)-3=2x²+4x+5-3
=2x²+4x+2=2(x²+2x+1)
=2(x+1)².

2(x+1)² est positive
donc pour tout x∈IR on a f(x)≥3.
Ce n'est pas fini
On détermine a∈I (s'il existe) tel que f(a)=3.
f(a)=3 signifie que f(a)-3=0
signifie 2(a+1)²=0 signifie a=-1
donc 3=f(-1) est une valeur minimale de f
ainsi 3 est un extremum de f.