1.2 تساوي حدوديتين

1.2.1 الحدودية المنعدمة

نقول ان حدودية منعدمة اذا كانت جميع معاملاتها تساوي 0.
بعبارة أخرى P=0 يعني لكل (x∈IR): P(x)=0.

1.2.2 تعريف

P و Q حدوديتان متساويتان ونكتب P=Q اذا كانت لهما نقس الدرجة ومعاملات حدودها من نفس الدرجة متساوية.

1.2.3 خاصية

لتكن P و Q حدوديتين.
P=Q يكافئ P-Q=0
يكافئ P-Q حدودية منعدمة.

تمرين 1 tp

لتكن P و Q حدوديتين بحيث.
P(x)=3x²-2x+1-2x²+2-3x.
Q(x)=x²-5x+3. بين أن P=Q.

تصحيح

الحدودية P(x) غير مرتبة
اذن نرتبها ترتيبا تناقصيا.
اذن q(x) تكتب على الشكل التالي
P(x)=3x²-2x²-2x-3x+1+2
=x²-5x+3
اذن P(x)=Q(x)
وبما أن deg(P)=deg(Q)=2 فان P=Q.

1.3 العمليات على الحدوديات

1.3.1 مجموع حدوديتين

خاصية
لتكن p و q حدوديتين بحيث.
p+q و p-q حدوديتان كذلك.

مثال
لتكن p=x²-3 و q=3x+7.
حدد p(x)+q(x) و p(x)-q(x).

تصحيح
1) p(x)+q(x)=x²-3+3x+7
= x²+3x+4
اذن p(x)+q(x)=x²+3x+4.
2) p(x)-q(x)=x²-3-(3x+7)
=x²-3x-10
اذن p(x)-q(x)=x²-3-10.

1.3.2 جداء حدوديتين

خاصية
لتكن P و Q حدوديتين و k∈IR.
kp و pq حدوديتان كذلك.

مثال
لتكن p=x-5 و q=3x²+1.
حدد
7p(x) و p(x)q(x).

تصحيح
1) 7p(x)=7(x-5)
= 5x-35
اذن 7p(x)=5x-35.
2) p(x)×q(x)=(x-5)(3x²+1)
=3x³+x-15x²-5
=3x³-15x+x-5.
اذن p(x)×q(x)=3x³-15x-5.