1.4 احداثيتا المتجهة EF^→ ومسافة نقطتين

1.4.1 احداثيتا المتجهة EF^→

خاصية
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر E(a;b) و F(a';b') نقطنين من المستوى ℙ.
EF^→=(a'-a)i^→+(b'-b)j^→
ونكتب EF^→(a'-a ; b'-b).

برهان
حسب علافة شال
EF^→=EO^→+OF^→=OF^→-OE^→
اذن EF^→=(a'-a)i^→+(b'-b)j^→.

مثال
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر النقط E(2;3) و F(4;8) و G(-2;5) من المستوى.
حدد EF^→ و EG^→ و GF^→.

تصحيح
لدينا EF^→(4-2;8-3) اذن EF^→(2;5).
لدينا EG^→(-2-2;5-3) اذن EG^→(-4;2).
ولدينا GF^→(4-(-2);8-5) اذن EF^→(8;3).

1.4.1 احداثيتا منتصف قطعة

خاصية
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ النقطة I(x_i;y_i) منتصف القطعة [EF] حيث E(a;b) و F(a';b').

مثال 1
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر نقطتين E(3;5) و F(-1;3) نقطتين من المستوى.
تحقق ان منتصف القطعة [EF] هو النقطة I(1;4).

تصحيح
نتحقق ان I هي منتصف [EF].

اذن x_i=1 و y_i=4
ومنه فان I(1;4) منتصف القطعة [EF].

مثال 2
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر نقطتين E(3 ; 5) و F(-7 ; -5) من المستوى.
تحقق ان النقطة J(-2 ; 0) هي منتصف القطعة [EE"].
نتحقق ان J منتصف القطعة [EF]

اذن x_j=-2 و y_j=0
ومنه فان J(-2;0) منتصف القطعة [EF].

1.4.3 مسافة نقطتين

خاصية
المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ نقطتين E(a;b) و F(a';b').
المسافة بين E و F ونكتب EF هي عدد حقيقي موجب
بحيث EF=√((a'-a)²+(b'-b)²).

مثال
نعتبر في المستوى ℙ نقطتين A(2;1) و B(5;3).
AB=√((5-2)²+(3-1)²)=√(3²+2²)
اذن AB=√(13).

تمرين 1 tp

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→). نعتبر في ℙ النقط A(3;-1) و B(1;1) و C(5;-3).
1) تحقق ان AB=2√2.
2) بين أن I(2;0) منتصف القطعة [AB].
3) بين أن المثلث ABC متساوي الساقين.
4) حدد J منتصف القطعة [BC] ثم حدد المسافة AJ.