2.4 المعادلة tanx=a بحيث a∈ℜ

2.4.1 حالات خاصة

1) اذا كانت a=0 فان tanx=0
tanx=tan(0)=tan(π+0)=tan(π)
اذن x=kπ بحيث k∈ℤ.
2) اذا كانت a=1 فان tanx=1

tanx = tan	π	= tan(π+	π	)
	4		4

يعني

x = π +	π	+ 2kπ أو x =	π	+ 2kπ
	4		4

يعني

x =	π	+ (2k+1)π أو x =	π	+ 2kπ
	4		4

العدد 2k يمثل الأعداد الزوجية والعدد 2k+1 يمثل الأعداد الفردية والعدد k يمثل الحالتين اذن tanx=1 يكافئ

k∈ℤ حيث	x =	π	+ kπ
		4

2.4.2 خاصية

ليكن x∈IR و a∈IR. اذا كان

k∈ℤ حيث	x ≠	π	+ kπ
		2

فانه يوجد عدد حقيقي

tany=a و k∈ℤ بحيث	y ≠	π	+ kπ
		2

بالاضافة الى ذلك x=y+kπ بحيث k∈ℤ.
S={y+kπ/ k∈ℤ و tany=a}.

2.4.3 مثال 1

حل في IR المعادلة
(E): (√3)tanx+1=0.

تصحيح
للتذكير tanx∈IR اذا كان

k∈ℤ بحيث x ≠	π	+ kπ
	2

(E): (√3)tanx+1=0 تكافئ

tanx =	- √3
	3

لدينا

tan(	-π	)=	- tan(	π	)=	- √3
	3			3		3

اذن

tanx = tan	-π
	3

وبالتالي

k∈ℤ بحيث x =	-π	+kπ
	3

k∈ℤ بحيث	-π	≠	π	+kπ
	3		2

وبالتالي مجموهة حلول المعادلة (E)

S = {	-π	+kπ/ k∈ℤ}
	3

2.4.4 مثال 2

حل في IR المعادلة
(E): tanx=-1.

تصحيح
(E) تكافئ

tanx = - tan	π	= tan	(-π)
	4		4

تكافئ

k∈ℤ بحيث	x =	- π	+ kπ
		4

لدينا لكل k∈ℤ

- π	+ kπ ≠	π	+ kπ
4		2

اذن

S = {	- π	+ kπ / k∈ℤ}
	4