Mathématiques du secondaire qualifiant

الحساب المثلثي (2_8)

3- المتراجحات المثلثية الأساسية

3.1 المتراجحة sinx≥a

3.1.1 خاصية

ليكن x∈IR.
اذا كان x∈[-π;0] فان sinx≤0.
اذا كان x∈[0;π] فان sinx≥0.

بصفة عامة
اذا كان x∈[-π+2kπ;0+2kπ] فان sinx≤0.
اذا كان x∈[0+2kπ;π+2kπ] فان sinx ≥0.

3.1.2 مثال

حل في I=[-π;π] المتراجحة
2sinx≥-√2.

تصحيح
2) نحل المعادلة
(E): 2sinx=-√2 في IR.
2sinx=-√2 تكافئ

sinx = -√2
2
sin( ) = -√2
4 2

اذن (E) تكافئ

sinx = sin( )
4

ومنه فان

k∈ℤ و k'∈ℤ حيث x = +2kπ أو
4
x = π - +2k'π
4

2) نؤطر الحلول في المجال I=[-π;π].
(a) نأطير

-π ≤ +2kπ ≤ π
4
-1 ≤ -1 + 2k ≤ 1
4

يعني

-1 - -1 ≤ + 2k ≤ 1 - -1
4 4

يعني

-3 ≤ k ≤ 5
8 8

k∈ℤ اذن k=0 ومنه فان

x = - π
4

(b) نأطير

-π ≤ + 2k'π ≤ π
4

يعني

-1 ≤ 5 + 2k' ≤ 1
4

يعني

-1 - 5 ≤ + 2k' ≤ 1 - 5
4 4

يعني

-9 ≤k'≤ -1
8 8

k'∈ℤ اذن k'=-1 ومنه فان

x = - 3π
4

3) نثل هذه الحلول على محور أو على الدائرة المثلثية (C)
(-π)---(-3π4)---(-π/2)---(-π/4)---(0)
(0)---(π/2)---(π)

وبالتالي

S = [-π ; -3π ]∪[ ; π]
4 4